Cuantización de la carga eléctrica

La hipótesis de avogadro

Avogadro, un abogado italiano con tiempo libre, curiosidad científica y dinero como para satisfacerla, hipotetizó que a igual temperatura y presión, volumenes iguales de gases, contienen la misma cantidad de partículas (moléculas, átomos, etc).

Podemos pensar en lo razonable que esto suena con la siguiente metáfora: Si disponemos de una gran gran cantidad de tierra para construir casas, digamos, la superficie de la provincia de Chubut, y ponemos como restricción que cada casa debe estar muy separada de la vecina, digamos 10 km, como el espacio entre casas resulta muchísimo mas grande que lo que cualquier casa podría llegar a ser, poco importa si tenemos casas de diferente tamaño, en una superficie determinada, como Chubut, tendremos siempre la msima cantidad de casas, sin importar su tamaño. En un gas, es ciertamente factible que esto suceda así: la distancia entre partículas (casas) es muchísimo mas grande que el propio tamaño de cada partícula, y por lo tanto, a una misma presión y temperatura, la cantidad de estas no depende en nada de como sea la partícula, sino solamente del volumen que estemos considerando.

Faraday, cuya historia de vida es notable (tanto como para tener su cara en un billete, pero no tanto como para que nos desviemos con esto ahora) y quien fuera un gran experimentador, obtuvo una relación entre las cantidades de sustancia que se disociaban en un proceso de electrólisis y la de cantidad de carga eléctrica que se hacía circular para conseguirlo. Lo que encontró es que la relación de masas entre los iones colectados en el cátodo y en el ánodo era siempre la misma para cualquiera par de compuestos, y lo más importante, una misma cantidad de carga (96500 C) descomponía siempre la misma masa de iones para cada elemento o compuesto. Lo que obviamente no se podía conocer, era ¿Cuántas partículas (átomos o moléculas) habían en esa masa de sustancia?

Como cada ión tiene un exceso o faltante de carga, una masa de iones monovalentes (de una carga de diferencia) esta compuesta por una carga de

\begin{equation*} F=N_a \cdot e \end{equation*}

Donde F es la cantidad de carga que pasa por le circuito electrolítico. La existencia de un "cantidad mínima" de carga eléctrica era una suposición bastante razonable por lo que, la cantidad de partículas $N_a$ multiplicada por la carga de cada una $e$ daba una carga de Faraday. Con esta relación, si se conociera la masa de cada partícula o la carga de una de ellas, sería posible obtener la otra cantidad siendo que F se podía medir con exactitud y facilidad.

Así los tantos tanto la masa de los iones como su carga y la cantidad de partículas que contenían esas proporciones de masa que se colectaban en los electrodos eran un rompecabezas cuya solución completa necesitaba sólo de una pieza, conocer la masa, la carga, o la cantidad de partículas para una determindada masa de sustancia (y por lo tanto la masa de cada una).

Estimaciones del tamaño de una molécula, y de su masa, ya se conocían en esa época. Varios científicos habian realizado contribuciones en ese sentido, y aunque no existían evidencias de gran precisión, un dato no menor, es que para entonces la teoría atómica no se encontraba del todo aceptada por la comunidad científica.

La previa

Un elemento común en los laboratorios del siglo XIX eran algo llamado "tubos de rayos catódicos". Estos tubos de vidrio, en los cuales se había hecho previamente un cierto grado de vacío, estaban provistos de electrodos metálicos. Al establecer una cierta diferencia de potencial entre los electrodos, se observaba una luminiscencia de un extremo a otro de los mismos.

Lo relevante, era intentar comprender la naturaleza de estos "rayos" ¿De qué estaban hechos?¿Ean ondas electromagnéticas? ¿eran partículas? ¿iones del gas dentro del tubo? ¿Eran del material de los electrodos?

Los científicos alemanes, eran de la idea de consierar a estos rayos, algún tipo de ondulación del eter algo que para J.J. Thomson, no era verificable de ninguna manera puesto que si no se tenía ni la mas pálida idea de que era lo que componía al eter ni se lo podía medir, menos podríamos adjudicarle algún fenómeno.

Por su parte, proponía que estos rayos, deberían tener una naturaleza corpuscular, ser tocables, cosas, objetos físicos.

Que fueran entidades con carga negativa era algo que no fue descubierto de inmediato, sino que requirió que se hiciera cierto grado elevado de vació para impedir que estos rayos se "descargaran" con el gas en su interior perdiéndose toda posibilidad de averiguar su naturaleza eléctrica.

Para el momento en que Thomson hiciera sus famosos experimientos, ya se contaban con algunas estimaciones de $N_a$ que habían permitido indagar sobre el valor de $e$. Tanto Zeeman como Stoney habían arrimado el bochín, pero sin presentar evidencia experimental concluyente, y también se tenían estimaciones de la masa de los iones de algunos gases. Esta información será de vital importancia para comprender por qué Thomson pudo afirmar haber descubierto la primer partícula subatómica.

El experimento de Thomson

Lo que Thomson hizo, fue seguir hasta el final su idea de los corpúsculos de carga. Para eso, en un tubo de rayos catódicos como el que se muestra debajo, introdujo dos placas metalicas paralelas (D y E) entre las cuales podía inducir un campo eléctrico, y también un campo magnético. Los rayos se producían entre A y B al establecer entre esos puntos una diferencia de potencial apreciable, y se dirigían hacia la derecha (en la imagen, nada indica esto sobre la afinidad política de los corpúsculos)e impactaban en una placa fosforescente graduada en un bulbo al final del tubo.

Encendiendo, apagando e invirtiendo un campo eléctrico de polaridad conocida, se podía ver si estos corpúsculos tenían carga y cual era su signo. Resultó ser negativo. Luego, aplicando un campo magnético B (asumamos saliente de la pantalla), a la vez que un campo eléctrico E (con el polo positivo en la parte superior), aplicando la segunda ley de Newton (despreciando la gravedad) vemos que fuerza eléctrica y magnética "compiten" por desviar el corpúsculo. $F_E$ es hacia arriba y $F_B$ hacia abajo. Ajustando la intensidad de ambos campos para que no exista desviación alguna, se induce una situación de $\sum F=0$ de la que podemos extraer que

\begin{equation*} v_x=\frac{E}{B} \end{equation*}

Con esta información se conoce la velocidad con la que los supuestos corpúsculos llegan a las placas de deflexión. Si se apaga B al entrar a las placas de deflexión, se observará una deflexión "hacia arriba" que es provoada por E causando una aceleración constante. El recorrido "hacia arriba" que hacen se puede calcular con cinemática básica:

\begin{equation*} y(t)=\frac{1}{2}a{t_1}^2 \end{equation*}

\begin{equation*} y(t)=\frac{1}{2}\frac{eE}{m}{t_1}^2 \end{equation*}

Como en el eje horiontal la velocidad $v_x$ es constante, $t_1$ se puede calcular facilmente como $\frac{x_1}{v_x}$.

Uniendo ambas cosas, podemos calcular que la desviación vertical de este tramo es

\begin{equation*} y_1=\frac{1}{2}\frac{eE}{m}\left(\frac{x_1}{v_x}\right)^2 \end{equation*}

Cuando salen de la zona de influencia del campo E los corpúsculos han ganado una velocidad hacia arriba $v_y$, que se mantendrá constante, ya que no hay fuerzas actuando. Lo mismo ocurre en el eje horizontal, en donde continuamos con $v_x$. Ásí, la desviación adicional hacia arriba es:

\begin{equation*} y_2=v_y \cdot t_2 \end{equation*}

Un detalle, es que $v_y$ se puede saber, ya que es igual a

\begin{equation*} v_y=a\cdot t_1=\frac{eE}{m}t_1 \end{equation*}

\begin{equation*} v_y=a\cdot t_1=\frac{eE}{m}\frac{x_1}{v_x} \end{equation*}

y $t_2$ se puede conocer fácil, ya que al momento de impactar en el bulbo, los corpúsculos habrán recorrido en el eje horizontal el tramo

\begin{equation*} x_2=v_x\cdot t_2 \end{equation*}

\begin{equation*} \frac{x_2}{v_x}=t_2 \end{equation*}

Reemplazando el valor de $t_2$ en la ecuación de $y_2$ llegamos a que:

\begin{equation*} y_2=\frac{eE}{m}\frac{x_1 \cdot x_2}{{v_x}^2} \end{equation*}

El desplazamiento vertical total, algo factible de ser medido, será $y_1+y_2$ y lo podemos volcar a una ecuación en donde lo único que no sabemos es $e$ y $m$.

\begin{equation*} y_{tot}= \frac{1}{2}\frac{eE}{m}\left(\frac{x_1}{v_x}\right)^2 + \frac{eE}{m}\frac{x_1 \cdot x_2}{{v_x}^2} \end{equation*}

Despejando para $\displaystyle \frac{e}{m}$ nos queda que:

\begin{equation*} \frac{e}{m}=\frac{y_{tot}}{E}\frac{{v_x}^2}{\sqrt{2}x_1+x_1x_2} \end{equation*}

Una duda

¿Como sabía Thomson que el valor obtenido de $\frac{e}{m}$ era debido a una gran carga eléctrica de los rayos catódicos o a una masa mucho menor que la de iones conocidos?

Teniendo en cuenta lo que se sabía sobre la masa y la carga de algunos iones, no había razones para suponer que la carga de estas partículas fuera muchísimo mas grande que la un ión. Es decir, aunque no se pudiera descartar lo contrario, parecía aceptable que la carga de estas partículas fuera similar a la de algunos iones, que estaba en el orden de $10^-19 \: C$.

Con los experimientos de electrólisis de Faraday y la teoría cinética de los gases, se habían llegado a estimaciones de $N_A$ que permitieron estimar C, en el orden de $10^-20 \: C$. Usando esto como un valor probable, la masa de estos corpúsculos resulta ser unas mil veces menor que la masa de cualquier otro ión conocido.

Si a esto le añadimos que Thomson obtuvo los mismos valores cambiando el material de los electrodos y el gas en el interior del tubo, la suposición de que estabamos ante una partícula común a todos los elementos conocidos cobraba fuerza.

Thomson mismo (aunque en realidad fué un discípculo suyo) intentó medir la carga del corpúsculo con un método de que sería la base para los experimentos de Milikan. En estos experimientos con gotas de agua llegó a valores del orden $10^-19 \: C$, que sostenían sus afirmaciones sobre la condición subatómica de estos corpúsculos que mas adelante llamaríamos simplemente electrones.

El experimento de Milikan

En la nube

Discípulo de Thomson, Townsed, dispuso un experimento que consistía en generar gotas cargadas mediante electrolisis, y colectaras en unos tubos. Midiendo la diferencia de masa de los tubos, podía así conocer la de las gotas. Con un electrómetro midió la carga total. Luego usando el hecho de que las gotas al caer en aire, alcanzan una velocidad terminal dada por

\begin{equation*} mg-bv=m\dfrac{dv}{dt} \end{equation*}

Donde la velocidad terminal viene dada por

\begin{equation*} v_t=\dfrac{mg}{b} \end{equation*}

El coeficiente b de la ley de Stokes tiene que ver con el radio a de la partícula según:

\begin{equation*} b=6 \pi \eta a \end{equation*}

Con estos datos, es posible escribir la masa de una gota en función de su volumen y densidad.

\begin{equation*} mg=\rho \frac{4}{3}\pi a^3 \end{equation*}

Sustituyendo esto en la ecuación de la velocidad terminal, se la puede escribir en función del radio de la gota, y por lo tanto, obtenerlo a partir de medir $v_t$.

\begin{equation*} v_t=\frac{2}{9}ga^2\frac{\rho}{\eta} \end{equation*}

Conociendo por lo tanto el tamaño medio de las gotas se sabe la la masa media de una gota. Dividiendo a la masa total por este valor se puede estimar la cantidad de gotas en la nube, y haciendo lo mismo para la carga total por la cantidad de gotas, asumiendo que cada gota (que es un ión) tiene solamente una carga se llegó a que la carga de cada gota era del orden de $1 \cdot 10^{-19}\ C$.

Uno de los problemas principales al usar gotas de agua es que no era posible establecer un patrón para la evaporación de las gotas. Asumir que cada gota contenía sólo una carga, tampoco tenía sustento previo, por lo que los datos de Thomson/Townsed si bien sustentaban el carácter subatómico del electrón, al dar con una masa mucho menor que la del hidrógeno no pudo establecer un valor precioso para $e$.

Mejor no se consigue

Milikan intentó mejorar el rendimiento de este experimento al usar un campo eléctrico que inmovilizara la nube de gotas, para compensar los cálculos al medir la velocidad de evaporación.

No tuvo éxito en suspender toda la nube de gotas, simplemente no pudo conseguirlo. Un campo eléctrico de cierta intensidad no provoca el mismo efecto en todas las gotas de la nube. Esto es así porque no todas las gotas tienen la misma cantidad de carga ni la misma masa.

Paradójicamente esta imposibilidad de lograr su objetivo le llevó poder observar a gotas individuales suspendidas durante un largo período de tiempo, es decir, a aquellas en donde la fuerza eléctrica externa se compensaba con el resto y la gota quedaba inmóvil. De este hecho surgió la idea medir la carga en una sola gota.

Para reducir el fenómeno de evaporación Milikan uso aceite en vez de agua (al revés de lo que reza el mito sobre la invasiones inglesas en donde se usó agua en vez de aceite, para alivio de los invasores).

Si una gota que se encuentra estacionaria gana o pierde alguna carga, ya no lo estará y comenzará a moverse, por lo que al observar una gota cualquiera, ya sea inmóvil o con cierta velocidad terminal, si la velocidad cambia, estoy implica necesariamente que su carga ha cambiado.

Una suposición extra poco mencionada (pero necesaria) es que la velocidad terminal de las gotas es proporcional a la fuerza eléctrica del campo.

En este video que reproduce el experimento, se hace hincapié en ello, y se lo demuestra.

El experimento

Si una gota cae por acción de la gravedad, alcanza rápidamente su velocidad terminal, por la ley de stokes, podemos conocer su radio, y a partir de los datos de densidad y viscosidad averiguar su masa.

Si la velocidad terminal de una gota no cambia, es porque su masa tampoco lo hace.

Aplicar un campo eléctrico en la misma dirección que la atracción gravitatoria provocará que las gotas o bien se aceleren en algún sentido o queden suspendidas como se explicó mas arriba.

Ahora bien, si una gota cambia su cantidad de carga, su interacción eléctrica cambiará, pero no así su interacción gravitatoria. Una aclaración importante respecto a esto: en cierta manera, si una gota gana o pierde electrones su masa si cambia, pero por la relación de $\frac{e}{m}$ que conocemos, el cambio es despreciable.

Si una gota cambia su carga al adherirse a otras gotas, ahí si su carga y su masa cambian. En esta situación la velocidad terminal en caída ya no será la misma que la que se midió en un principio.

Juntando estas dos ideas:

Si se mide siempre la misma velocidad terminal de caída, es porque la masa de la gota no ha cambiado.
Si la interacción eléctrica cambia (asciende o desciende con diferente velocidad, es porque ha cambiado su carga).

Si se efectúan diferentes y sucesivas mediciones de los tiempos de subida y caída de una misma gota, en principio, es factible "ver" cuando la gota ha ganado o perdido cargas.

Milikan vaporizaba con un atomizador gotas entre dos placas metálicas a las que se les podía imponer un campo eléctrico variable. Con un artefacto óptico era posible medir el desplazamiento de las gotas en distancias pequeñas con una regla graduada acoplada al mismo.

/images/milikan1.svg — Esquema del diseño experimental de Milikan

La velocidad de caída medida, si la masa de la gota no cambia, debería (dentro del la incerteza de la medición) ser la misma en todos los casos.

La suma de fuerzas incluyendo $F_f$ la fuerza de flotación

\begin{equation*} \sum F = mg - bv - F_f = 0 \end{equation*}

Como la fuerza de flotación está siempre en sentido opuesto a la gravitatoria podemos reescribir su resultado neto junto con el peso al suponer que sería lo mismo tener una gota con menos masa (y por lo tanto menos peso) en ausencia de medio que le provea flotación. Eso es sencillamente para evitar incluir a $F_f$ en los cálculos.

\[ \begin{aligned} mg= \rho _{g} Vg \\ F_f=\rho _{a} Vg \end{aligned} \]

Si restamos la primera de la segunda, en donde $\rho_{a}$ es la densidad del aire y $\rho_{g}$ la de la gota, llegamosa :

\begin{equation*} m'g=\rho'Vg=(\rho_{g} -\rho_{a})Vg \end{equation*}

De ahora en más, cada vez que se vea la masa de la gota, se debe tener en cuenta que es su masa compensada por la fuerza de flotación.

La velocidad terminal en caída será entonces

\begin{equation*} v_c=\frac{mg}{b} \end{equation*}

Si se enciende un campo eléctrico, suponiendo que ahora la gota se mueve en sentido contrario al de caída, y sube

\begin{equation*} \sum F= q_nE-mg-bv=0 \end{equation*}

Acá $q_n$ significa n cantidad de cargas elementales. La velocidad terminal en este caso, queda expresada como:

\begin{equation*} v_s= \dfrac{q_nE -mg}{b} \end{equation*}

Podemos despjear $q_n$ y nos queda

\begin{equation*} q_n=\dfrac{bv_s+mg}{E} \end{equation*}

Recordamos que por Stokes el peso es $mg=bv_c\:$ y podemos reemplazar en la ecuación de arriba. También podemos escribir la velocidad terminal de caída como: $mg=b\frac{L}{T_c}$ Teniendo en cuenta que $L$ es la misma distancia en ambos sentidos.

Reescribimos la ecuación para la carga como

\begin{equation*} q_n=\dfrac{b}{E}\cdot {(v_s+v_c)}=\dfrac{b}{E}\cdot \left(\frac{L}{T_s}+\frac{L}{T_c}\right) \end{equation*}

Podemos remplazar a $b$ de la ecuación usando $b=\frac{mg}{v_c}$, que a su vez podemos escribir como $b=\frac{mg\cdot T_c}{L}$

\begin{equation*} q_n=\dfrac{mg T_c}{E\cdot L}\left(\frac{L}{T_c}+\frac{L}{T_s}\right) \end{equation*}

Que podemos simplificar y llegar a

\begin{equation*} \dfrac{mg\cdot T_c}{E}\left(\frac{1}{T_c}+\frac{1}{T_s}\right) \end{equation*}

Si la gota gana o pierde cargas, la velocidad con la que sube (asumimos que este es el caso, es decir, no pierde tantas cargas como para quedar suspendida o revertir el sentido de su desplazamiento) cambiará y podemos escribirla como:

\begin{equation*} v_s'= \dfrac{q_n'E -mg}{b} \end{equation*}

Análogamente podemos despejar $q'_n$ y restarla de $q_n$ para obtener una expresión de la cantidad de carga que ganó o perdió la gota.

Esto nos permite escribir

\begin{equation*} \Delta q=q'_n-q_n=\dfrac{mg\cdot T_c}{E}\left(\frac{1}{T_s'}-\frac{1}{T_s}\right) \end{equation*}

Esta cantidad de carga, si la hipótesis de la carga elemental es cierta, deberá ser cierto múltiplo de ésta unidad.

\begin{equation*} e(n'-n)=\dfrac{mg\cdot T_c}{E}\left(\frac{1}{T_s'}-\frac{1}{T_s}\right) \end{equation*}

La carga que contenía la gota en un principio, también debe ser cierto múltiplo de la unidad fundamental de carga, así que:

\begin{equation*} e\cdot n=\dfrac{mg T_c}{E}\left(\frac{1}{T_c}+\frac{1}{T_s}\right) \end{equation*}

Re-acomodemos ambas expresiones de esta manera (escribimos $(n'-n)=\Delta n$

\begin{equation*} e\frac{E}{mg}=\frac{1}{n}T_c\left(\frac{1}{T_c}+\frac{1}{T_s}\right) \end{equation*}

\begin{equation*} e\frac{E}{mg}=\frac{1}{\Delta n}T_c\left(\frac{1}{T'_s}-\frac{1}{T_s}\right) \end{equation*}

Como interpretarlo

Queda evidente que una correcta elección de $n$ y $\Delta n$ nos permite obtener $e$. Lo que no es en absoluto evidente es que la naturaleza realmente funcione de modo que la carga eléctrica exista sólamente en múltiplos de $e$. Los datos experimentales deberían ser tales que sólo se encontraran variaciones mínimas de carga que representen una unidad de $e$ y no menos.

Dicho de otro modo, si las ecuaciones de arriba se satisfacen en casos donde la elección de $\Delta n=1$ no debe observarse en ningún otro caso valores iniciales de carga menores a este. Cuando se miden los tiempos en caída y en subida para una gota que no cambia su carga, no puede haber ninguna que contenga una cantidad de carga menor al obtenido cuando $\Delta n =1$. Tal cosa indicaría que la unidad de carga elemental es menor a la elegida.

Por otro lado, las escalones o "saltos" deben corroborarse como múltiplos de ese valor mas bajo obtenido. Si se observaran múltiplos no enteros del valor elemental significaría que o bien, no se escogió el valor menor posible o que no existe una unidad fundamental de carga, en otras palabras, que la carga eléctrica no es discreta sino continua.

Milikan realizó experimentos con miles de gotas de diferentes aceites, llegando siempre a los mismos resultados, no observando saltos menores al valor obtenido para una sola carga.