Relaciones lineales

En los últimos días estuvimos trabajando ecuaciones lineales. para repasar que son podríamos decir que:

  • Aparecen números y letras

  • Las letras no están elevadas a potencias (bueno a la potencia 1 si somos rebuscados en como decirlo)

  • La cantidad de Variables o incógnitas es la cantidad de letras que hay en la expresión

Por ejemplo esto es una ecuación lineal

\begin{equation*} 3x+2y=3 \end{equation*}

Y esta otra también

\begin{equation*} \frac{2}{3}x=6 \end{equation*}

Y esta otra tambien:

\begin{equation*} 3x+2z+y=3 \end{equation*}

Como ésta última no veremos ninguna por ahora, así que a no asustarse.

Analicemos un poco la segunda: acá la variable \(x\) puede tener un sólo valor. Existe un sólo número que hace que la igualdad se cumpla

\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{2}{3}x&=6 \\ \cr \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x &=6 \cdot \frac{3}{2} \\ \cr x&=9\\ \end{aligned} \end{equation*}

La interpretación

Esto nos dice entonces que para esta ecuación, sólo tenemos un posible valor par $x$, una vez que lo encontramos, no hay mucho mas que analizar. En términos textuales, hemos resuelto esto:

¿Cuál es el número que mupltiplicado por \(\frac{2}{3}\) nos da $6$?

En cambio ¿que pasa con la primera ecuación? Si elijo un valor para \(x`(digamos 0) obtengo una ecuación como la primera, donde puedo despejar $y$ y *hacer la cuenta* para obtener un valor para :math:`y\).

\begin{equation*} \begin{aligned} 3\cdot 0 +2y=3 \\ 2y=3 \\ y=\frac{3}{2} \end{aligned} \end{equation*}

Esto, podríanos hacerlo para cualquier valor de \(x\) que quisiéramos y obtendriamos valores de \(y\) para cada uno de ellos.

La tabla

Si uno hace varias veces esto de elegir un valor para \(x\) y ver cuál es el de \(y\) que aparece (o al revés, escoge uno para $y$ para ver que $x$ nos da) y los ubica en una tabla obtiene algo como esto:

x

y

-3

-6

-2

4,5

-1

3

0

1.5

1

0

2

-1,5

3

-3

Esta tabla podría segur por siempre, es decir, podríamos usar cualquier número como valor de entrada y obtendríamos un infinitos pares asociados. Para cada $x$, hay una $y$.

Una ecuación lineal con dos varaibles, tiene infinitas soluciones son todos los pares $x$ e $y$ que cumplen con la igualdad (o sea los que obtenemos de despejar una de las dos variables y resolver)

El gráfico

Si ubicamos en un par de ejes perpendiculares (o sea, que forman 90 grados entre sí) los pares de valores \(x\) e \(y\) obtenemos esto:

Por convención, se usa el eje horizontal para la letra \(x\) y el vertical para \(y\). Tanto esto, cual es horizontal o cual vertical, y mismo el uso de las letras \(x\) e \(y\) es absolutamente arbirtario. Podríamos decir que:

A la comunidad matemática se le canto el quinto f***o del c**o usar estas letras y también decidió lo que le pintó para la ubicación de las letras en los ejes.

Esto quiere decir que, en realidad, no hay nada especial en los nombres y que uno podría usar cualquier letra y ubicar en el eje horizontal o vertical la que quisiera, siempre y cuando quede debidamente explicado en el gráfico.

Resumen

Juntando todo lo que acabamos de ver:

  1. Una ecuación lineal tiene como solución infitos pares de valores

  2. Esos pares de valores, graficados, forman una línea recta