La pendiente de una línea recta

Repaso

Vimos previamente que una ecuación lineal de dos variables tenía como gráfico una línea recta, y que sus infinitos pares solución eran los que, cuando los ubicabamos en un par de ejes coordenados (o ejes de coordenadas o ejes cartesianos como prefieran llamarles) nos daban como dibujo una línea recta.

Una ecuación podría ser ésta:

\begin{equation*} 2y+1=3x \end{equation*}

Podemos, para facilitarnos el trabajo de "armar" la tabla de valores solución despejar una de las dos variables (o sea las letras $x$ e $y$ en este caso).

Voy a despejar la $y$:

\begin{equation*} \begin{aligned} 2y+1&=3x \\ 2y&=3x-1 \\ y&=\frac{3}{2}\cdot x -\frac{1}{2} \\ \end{aligned} \end{equation*}

Esto hace más facil saber "cuál es el valor de $y$ cuando hago que $x$ sea cierto valor", por ejemplo, supongamos que quiero saber cuánto debe ser $y$ cuando $x$ es $0$.

\begin{equation*} \begin{aligned} y&=\frac{3}{2}\cdot x -\frac{1}{2} \\ \cr y&=\frac{3}{2}\cdot 0 -\frac{1}{2} \\ \cr y&= -\frac{1}{2} \\ \end{aligned} \end{equation*}

Por lo que el par \((0,-\frac{1}{2})\) es solución de la ecuación y por lo tanto, un punto del gráfico de nuestra recta. También lo es el punto \((1,1)\)

Una recta es algo que nunca se dobla, y aunque esto parece una estupidez no es así; como nunca se dobla todos los puntos que hacen una línea estan todos en fila uno atrás de otro, alineados. Vean que estoy diciendo cosas que parecen ser redundantes pero que su buena interpretación nos lleva esto:

Para gráficar correctamente una línea recta, sólo necesito conocer dos puntos que le pertenezcan

Uno marca los dos puntos (cada punto tiene un valor de $x$ y otro de $y$) en un par de ejes, y luego traza con regla o con imaginación, o con un software una línea que une esos dos puntos.

De las infinitas rectas que hay, existe sólo una que pasa por esos dos puntos, y es la que uno acaba de dibujar

Mira ahora el gráfico

¿Tiene sentido lo que estuve diciendo hasta ahora? Tratá de imaginar otra recta, diferente a la del gráfico y que También pase por los dos puntos que dije más arriba

La pendiente

Ahora, mirá este gráfico donde hay varias rectas:

¿Qué es lo que hace que algunas sean mas "empinadas" hacia arriba (si las miramos de izquierda a derecha, por ejemplo)? ¿Que hace que algunas apunten "para abajo"? ¿Por que algunas apuntan mas para arriba (o abajo) que otras?

Mirá el recuadro, ¿en qué se parecen y en que se diferencian estas ecuaciones?

  1. \(y=3x\)

  2. \(y=-x\)

  3. \(y=\frac{1}{4}x\)

Ahora ¿en que se diferencian de esta otra?

  1. \(y=\frac{3}{2}x+-\frac{1}{2}\)

Variables y parámetros

Hasta ahora, usé la palabra Variable para referirme a las letras $x$ e $y$ que usamos en las ecuaciones. Se las llama variables, justamente porque al Variar sus valores vamos construyendo el gráfico (quen o es otra cosa que un dibujo de todas las soluciones de la ecuación). Reitero:

El gráfico de la recta es un dibujo de todos los puntos solución de la ecuación. Gráfico, recta y soluciones son la misma cosa.

Se suele además ser mas específico y llamar a una Variable dependiente y la otra variable independiente ¿por qué?, veamos esta ecuación:

\begin{equation*} y=3x +2 \end{equation*}

En esta ecuación, la $y$ aparece despejada (aislada) por lo que para encontrar un punto solución, podemos dar un valor a $x$ (cualquiera por supuesto) y cuando hacemos eso, una vez que elgimos ese valor (y hacemos la cuenta), ahora, el de $y$ depende del valor de $x$ que hayamos elegido. Supongamos que doy a $x$ el valor $1$

\begin{equation*} y=3\cdot 1+2 \end{equation*}
\begin{equation*} y=5 \end{equation*}

Una forma de pensarlo, es que uno "mete" un valor de $x$ y a la salida obtiene un valor de $y$, por lo que el valor de $y$ (salida) depende del valor de $x$ (entrada)

Esta forma de escribir las escuaciones, se suele llamar "función". No me voy a detener en la formalidad de las funciones por ahora, pero queda claro que los valores de $y$ están en función (ya que dependen) de los valores de $x$ que uno elija poner "como entrada".

Usar $x$ o $y$ como valor de entrada o de salida, o sea, la variabla la que uno decide darle valores para saber cuanto vale la otra, es decisión de uno. A veces conviene hacerlo de una forma y a veces de otra, pero si recuerdan que el gráfico de la recta tiene que ser el mismo, porque los puntos solución son los mismos, y por lo tanto estamos hablando de la misma línea, da igual como lo hagamos, tenemos que obtener lo mismo como resultado.

Los pares de puntos solucíón se pueden obtener tomando como valor de entrada (variable independiente) las $x$, quedando así el valor de $y$ como salida (variable dependiente), pero también se puede hacer al revés

Parámetros

Tenemos ahora el siguiente gráfico



Y el gráfico tiene un control que nos permite cambiar el número que multiplica a la $x$ desde $-10$ a $10$ ¿Qué cambia en la recta cuando damos a el parámetro $m$ diferentes valores?

Una pregunta que te podrás estar haciendo ahora, es ¿cuál es la diferencia entre dar valores a $x$ y obtener $y$ y lo que hacemos cuando usamos el control del gráfico de arriba?

Cuando lo que hacemos es encontrar los pares $(x, y)$ que satisfacen la ecuación, o sea, que forma una recta, estamos "averiguando" de que recta en particular se trata, digámoslo de otra manera: conocer los puntos de la recta, nos dice cual recta es de todas las que existen, en cambio, cuando cambiamos el parámetro de arriba, como verán, estamos alterando la recta ... estamos generando una nueva recta, que tendrá por lo tanto diferentes puntos solución, que, cuando los pongamos en un dibujo, serán los que forman la imagen que vemos en la pantalla.

Cada vez que tocamos el parámetro $a$ del gráfico de arriba, estamos creando una nueva recta que tendrá sus pares $(x,y)$, y que serán por lo tanto diferentes a los puntos de la anterior, porque estamos ante una recta diferente.

Ecuación genérica

¿Hay una forma de escribir una recta que sea a su vez "todas las rectas", una especie de recta "genérica"? Si, la hay, hay varias, y una es esta:

\begin{equation*} y=m\cdot x +b \end{equation*}

¿Cómo interpreto esta cosa?

Tenemos nuestras variables, $x$ e $y$, y luego dos letras, $m$ y $b$ que son parámetros. ¿Parámetros que hacen que cosa?

Bueno, en principio si decido dos números cualesquiera para $m$ y $b$, obtengo una recta en particular. Por ejemplo $m=2$ y $b=4$.

\begin{equation*} y=2x+4 \end{equation*}

Así, eligiendo valores para $m$ y $b$ uno puede generar todas las rectas posibles del universo, mientras uno va pasando por todas las posibles combinaciones de números que se nos ocurran.

El otro parámetro

¿Que cambia en una recta cuando cambiamos $b$?



Si tuvieras que decir ¿Que función cumple el parámetro $b$? ¿Cómo se vincula con el punto de la recta $(0,b)$?

Juntando todo

Los parámetros que construyen las ecuaciones, nos permiten entender cómo están construidas las rectas y en qué se diferencian o parecen.

En la ecuación "genérica" el parámetro $m$ se le llama pendiente y al parámetro $b$ se le llama ordenada al origen o intersección con el eje vertical o término independiente.

Sin importar el nombre que usemos para los parámetros, podemos sumar una interpretación mas a todo el tema este de las ecuaciones de las rectas.

Lo relevante es entender e interpretar que rol juega cada parámetro mas allá de su nombre, y que cambia cuando uno los modifica.

  • ¿Cómo es una recta con pendiente igual a cero?

  • ¿Cómo debe ser una recta para que pase por el centro de coordenadas, es decir el punto $(0,0)$

  • ¿Cómo influye el signo de la pendiente? ¿Y su valor absoluto? (es decir si es muy grande o muy chico sin importar el signo)