Porcentaje

¿Qué cosa es el porcentaje?

Es algo que todos hemos escuchado una infinidad de veces, y que todo el mundo, se supone, saben manejar. Justamente por eso, entra dentro de las categorías de cosas en las que a uno/a podría darle vergüenza preguntar de que se trata o pedir ayudar para entender algún detalle.

Peor que no saber algo que es útil, es saber que uno no sabe, y no pedir ayuda para salirse de esa posición de "no saber". Si el ego funcionara mas o menos bien, nos debería preocupar menos lo que otros puedan pensar de nosotros y más la percepción de nuestras propias debilidades o fortalezas para enfrentar la realidad, como por ejemplo, saber o no saber si en el hot sale te están cagando con el supuesto porcentaje de rebaja.

Y para saber eso, se requiere saber dos cosas:

entender y calcular porcentajes
entender como algunas empresas manipulan los precios en el tiempo para simular rebajas

Una idea útil

Cuando usamos fracciones, por ejemplo $\frac{3}{5}$ estamos representando una relación entre dos números, donde el denominador, el que está abajo, hace las veces del "total" y el numerador nos indica cuantas partes de ese total tenemos. En $\frac{3}{5}$ podemos decir que tenemos $3$ de $5$ (supongamos un objeto que se divide en 5).

Tener $\frac{2}{4}$ que se simplifica a $\frac{1}{2}=0,5$ implica que tenemos la mitad de ese total, que en este caso es 4.

Recordemos que podemos tomar el total como "uno" en una fracción, (porque $\frac{A}{A}=1$ para cualquier cosa que pongamos en lugar de $A$) por lo que tener $0,5$ es justamente la mitad (pero expresado en forma decimal).

A veces, las fracciones son mas complicadas, como $\frac{13}{57}$, en este caso nos preguntamos ¿como saber que tanto tenemos del total? ¿la mitad? ¿mas de la mitad? ¿una parte mucho menor que la mitad?

Una idea útil es asignar a nuestro total el número $100$ y pensar en las partes de $100$. Uno tiene seguro, una idea un poco mas intuitiva cuando hablamos en "partes de cien": tener diez de cien, veinte de cien, cincuenta de cien, o noventa de cien, dan imágenes claras sobre "que tanto" tenemos en relación al total. Podríamos haber elegido cualquier otro número en vez de $100$, pero creo que todos estamos a cuerdo que es mas conveniente elegir $100$ y no $987$.

Sería bueno poder aplicar esto, a cualquier número, a cualquier fracción, y esto es, justamente lo que hacemos cuando calculamos porcentajes.

Supongamos que tengo 15 de 128, es decir $\frac{15}{128}$ ¿Cuál sería el equivalente si quisiéramos transformarlo en partes de cien?

Fracciones equivalentes

Hay infinitas fracciones que representan a una misma relación, por ejemplo, como vimos hace un par de párrafos, $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{4}{8}$ y así sucesivamente podríamos encontrar una fracción que sea igual a otra cuando la relación(razón) entre numerador y denominador sea idéntica.

Ejemplo

Encontrar una fracción equivalente a $\displaystyle \frac{1}{3}$:

\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{1}{3}&=\frac{A}{B} \\ \cr \frac{1}{3}&=\frac{3}{9} \end{aligned} \end{equation*}

En este caso, lo que hice fue plantear una fracción "vacía" con dos letras, A y B y "llené" (cambié) esas variables por números que son los de la fracción original, pero multiplicados por 3. Como multipliqué por tres a ambos, numerador y denominador, la relación se mantiene, y por lo tanto encuentro una fracción equivalente. De hecho puedo simplificar $\frac{3}{9}$ y obtener $\frac{1}{3}$.

Aplicándolo

Vamos a usar el mismo truco, para encontrar la fracción equivalente, pero como lo que queremos es que nuestro denominador sea 100, porque así lo decidimos, el denominador queda fijo

\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{15}{128}&=\frac{A}{B} \\ \cr \frac{15}{128}&=\frac{A}{100} \\ \cr \frac{15}{128}100&=A \\ \cr 11,72 &\approx A \end{aligned} \end{equation*}

Esto quiere decir que el numerador de la fracción es aproximadamente $11,72$, ¿Qué significa ésto? que tener $15$ sobre $128$ es equivalente tener $11,72$ sobre $100$. Lo mismo se puede decir así: $15$ es el $11,72\%$ de $128$.

Otra manera de verlo es pensar que, como las fracciones son equivalentes, $15$ es a $128$, lo que el número A (que queremos averiguar) es a $100$.

En resumen, el tanto porciento de un número, es que tantas partes de 100 representaría si fuera 100 el total que estamos considerando.

Lo que acabamos de ver es como expresar el numerador de cualquier fracción como porcentaje del denominador.

¿Pero como hacemos para saber el porcentaje de una cantidad? Bueno, es exactamente lo que acabamos de hacer.

Calcular porcentajes

La forma en que acabamos de deducir el sentido de los porcentajes no es la mas directa, o sencilla de aplicar siempre. Veamos un ejemplo

¿Cuanto es el 15% de 12800?, uno podría plantear lo mismo que antes:

\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{15}{100}&=\frac{A}{12800} \\ \cr \frac{15}{100}&=\frac{A}{12800} \\ \cr \frac{15}{100}12800&=A \\ \cr 1920 &= A \end{aligned} \end{equation*}

Es un poco largo, pero de esta ecuación podemos encontrar dos formas de calcular porcentajes muy rápido y fácil.

Si ven la parte izquierda del anteúltimo paso, la fracción $\frac{15}{100}$ está representando "el quince porciento" y luego al multiplicarlo por $12800$ obtenemos "el quince porciento de $12800$".

Un segundo pensamiento, para hacer más rápido aún todo, es que $\frac{15}{100}$ es fácil de escribir como un número decimal: $\frac{15}{100}=0,15$, ya que dividir por 100 es "correr" dos lugar a la izquierda la coma decimal, y esto nos lleva a la conclusión de que si, 0,15 es el 15%, 0,1 será el 10% porque $\frac{10}{100}=0,1$ y 0,05 será el 5% porque $\frac{5}{100}=0,05$ y así sucesivamente, lo que a su vez nos lleva a que: