La fase exponencial de una enfermedad
Planificado la pandemia
En esta parte del trabajo vamos a intentar generar una predicción de la fase de crecimiento exponencial del coronavrius y les voy a pedir 3 escenarios posibles para nuestro país. Para poder conseguirlo, tenemos que manejar ciertas herramientas.
En términos pedagógicos esto sería:
Procedimiento
Vamos a leer el artículo continuación del de la semana anterior aca luego de eso vamos a responder la siguientes preguntas.
Preguntas
Responder las siguientes preguntas:
¿Qué países adoptaron medidas de mitigación y cuales de supresión?
¿Cuántas camas por habitante tienen España, Italia, Chile, Brasil, Argentina, China y Estados Unidos?
¿Cuál es la tendencia de cada país desde los 60?
¿Cuánto duró el período de supresión de contacto en Wuhan?
Definir R. (Según el artículo)
¿Cuál sería el proposito de una estrategia de supresión de contacto en relación a R?
Una aclaración importante la letra R que se usa en este artículo refiere a la cantidad de contagios que una persona puede causar, mientras que usualmente el la letra $r$ se usa para medir la razón a la cual crece una cantidad, es lo que vimos en el clase anterior: si tenemos una secuencia 3,9,27, la razón $r$ es 3 porque cada valor próximo se obtiene multiplicando al anterior por 3.
Este número es de Vital importancia ya que nos dice que tan rápido se está expandiendo la enfermedad, es decir que tantos infectados tenemos a medida que avanza el tiempo.
Por ejemplo, una cantidad que se triplica cada "t" días, nos queda:
Si pensamos en términos de días, y comparamos por ejemplo la cantidad de infectados entre dos días sucesivos y tenemos 100,200 significa que los infectados se duplican cada día .. por lo nuestro modelo sería una exponencial de base 2. Dos multiplicado por si mismmo todas las veces que uno quiera.
100 séría nuestro valor inicial, y cada día que pasa, se duplica. Un escenario de catástrofe a todas luces. Pero no hace falta llegar a tanto, como vimos, se llega a un escenario igual de caótico con un r bastante más chico.
Ahora,
Si suponemos que los casos de duplican cada 3 días ... implica que vamos a multiplicar por 2 nuestra cantidad cuanto el tiempo sea alguno de los múltiplos de 3: 3,6,9,12,etc.
¿Qué modificación tendríamos que hacer a la expresión anterior (la de $2^d$?)
Tenemos que modificar el exponente, para que sea igual a 1, si pasan 3 días, igual a 2 si pasan 6, igual a 3 si pasan 9 e igual a 12 si pasan 4.... Hagamos una tabla:
dias |
ex |
|---|---|
3 |
1 |
6 |
2 |
9 |
3 |
En la izquierda tenemos los días y a la derecha lo que debería aparecer en el exponente ¿que operación hay entre ambos números? ¿cuál es su relación funcional? ... piense, vamos.
Bueno, por si no lo vieron, al número de la izquierda siempre se lo divide por 3, que es justamente la cantidad de días que pasan entre duplicación y duplicación. Esto nos dice que nuestro esponente es entonces \(\frac{d}{3}\)
Y nuestra función:
Ejercicios de prueba
Escribir una función exponencial de valor inicial 200 y que se duplica cada 3 días
Escribir ua función exponencial de valor inicial 1 y que se triplica cada 2 días
Escribir una función exponencial de valor inicial 1 y que se duplica cada 10 días
Modelame así
Así como recién vimos que podemos representar las situaciones de crecimiento exponencial en base a considerar que tan rápido crece el fenómeno que estudiamos. Usémoslo para estudiar como crecen los casos de coronavirus en nuestro país y en otros.
Los números por estos pagos
Fecha |
Casos nuevos |
Total Casos |
r |
|---|---|---|---|
02/03/2020 |
1 |
1 |
|
03/03/2020 |
0 |
1 |
1,00 |
04/03/2020 |
0 |
1 |
1,00 |
05/03/2020 |
0 |
1 |
1,00 |
06/03/2020 |
1 |
2 |
2,00 |
07/03/2020 |
1 |
3 |
1,50 |
08/03/2020 |
3 |
6 |
2,00 |
09/03/2020 |
5 |
11 |
1,83 |
10/03/2020 |
2 |
13 |
1,18 |
11/03/2020 |
2 |
15 |
1,15 |
12/03/2020 |
10 |
25 |
1,67 |
13/03/2020 |
3 |
28 |
1,12 |
14/03/2020 |
11 |
39 |
1,39 |
15/03/2020 |
11 |
50 |
1,28 |
16/03/2020 |
9 |
59 |
1,18 |
17/03/2020 |
14 |
73 |
1,24 |
18/03/2020 |
18 |
91 |
1,25 |
19/03/2020 |
31 |
122 |
1,34 |
20/03/2020 |
30 |
152 |
1,25 |
21/03/2020 |
67 |
219 |
1,44 |
22/03/2020 |
41 |
260 |
1,19 |
23/03/2020 |
36 |
296 |
1,14 |
24/03/2020 |
86 |
382 |
1,29 |
25/03/2020 |
117 |
499 |
1,31 |
La última columna es la división entre los casos del día, y los del día anterior, lo ue nos daría un "r" diferente para cada día y podríamos a patir de esos datos proyectar hacia futuro, por ejemplo, si tomamos como día cero el 22 de marzo la función que modelaría los próximos contagios es
Si en cambio tomamos el día 24 de marzo
También podríamos hacer un promedio de todos los valores de "r" (que nos da 1,34) o encontrar el "r" tal que nos de que en 23 días (del 2 al 25) se pasó de 1 caso a 499. Es decir de un valor inicial de 1 pasamos a 499 en 23 días.
Lo que habría que hacer, es depejar "r" y listo. Pero no nos vamos a meter en eso todavía.
El primer caso que se considera que no vino infectado de viaje o que se contagió de alguien que ya vino enfermo se verificó el día lunes 23
¿Qué cosa nos dice esto respecto de nuestros valores de "r" calculados o aproximados en los párrafos anteriores?
Simplemente que no sirven de mucho, porque todas esas personas no se contagiaron entre sí. Por lo que si vamos a tomar un punto de inicio, debería ser a paritr de que se detectó el primer contagiado que no tiene relación directa algún caso importado (o de persona cercana a un caso importado).
Algo importante sobre los modelos
Vamos a explicar esto en detalle luego, pero algo que todos los modelos matemáticos, físicos, quiímicos, biológicos, económicos, etc. tienen en común es esto: NO SON LA REALIDAD. Sino que a partir de sucesivas simplificaciones y aproximaciones, los modelos intentan explicar y predecir fenónemos. Un modelo puede ser válido en cierto momento y no en otro, cuando las suposiciones que se tomaron ya no aplican, porque hay un cambio en el contexto, o puede incluso desde un principio se sepa que las condiciones no se cumplen para aplicar el modelo y se lo use meramente como una aproximación cuando nose tiene uno mejor a mano.
Siempre que seamos cuidadosos, podemos usar lo que nos venga en gana, pero siempre se debe aclarar el rango de validez de nuestras predicciones. Esto se puede simplificar as: "va a suceder x cosa, si se cumple que a,b,c y d" siendo a,b,c,d los hechos y suposiciones que tuvimos en cuenta.
Si luego la realidad es muy diferente de lo que el modelo predijo, puede sueceder alguna de estas dos cosas: que el modelo realmente deba ser abandonado por completo, o que debamos revisar nuestras suposiciones: puede que no hayamos tenido en cuenta factores de importancia, o que le hayamos dado lugar a otros factores que no influyen en nada o que lo hacen en menor medida de lo que uno supuso. Veamos un ejemplo estúpido:
Si me tiro de un quinto piso cantando canciones de maluma y llevo puesta una remera verde, seguramente moriré.
Este caso es polémico, porque en principio, suicidarse y cantar maluma son sinónimos, pero lo es más aún porque por mas que cantemos otra cosa o nos cambiemos la ropa, es obvio que nuestras chances de morir son las mismas.Acá esamos teniendo en cuenta factores que no influyen en nada en nuestro resultado.
Veamos otro ejemplo:
Si una persona promedio, consume mas de x cantida de azúcar por día, incrementa sus chances de morir prematuramente en y %
Podemos ver si esto es cierto juntando datos de gente que murió conociendo la cantidad de azucar que consumían, y puede que encontremos que están ciertamente relacionados, ahora, en una muerte prematura ¿es el único factor que influye? ¿hay otros factores asociados que pueden "neutralizar" el efecto de la ingesta de azucar? En todo caso podríamos pensar que el nivel de actividad física, el resto de la alimentación, el estilo de vida (si se es mas o menos sedentario) también afectan. para deshacernos de estas "dudas" deberíamos tener a mano casos de gente de diversos grupos, pensemos sedentarios y activos, (y que tengan en común otras cosas quizás) que consuman azucar y que no consuman azucar y comprararlos. Si entre grupos "parecidos" cada vez que inlcuimos el azucar, la mortalidad prematura aumenta, estamos mas cerca de convencernos de que efectivamente hay una relación entre ambos fenómenos.
Al grano señor
¿Y qué tiene que ver esto con las enfermedades? Bueno es que muchos de los modelos tienen en cuenta algunas suposiciones en las cuales se basan
Hay cierto % de gente que se inmuniza luego de enfermarse
El mortalidad es de tanto %
Los días que pasa una persona internada son x en promedio
La cantidad de personas que un infectado puede contagiar son 2,3
Cuanta mas gente en contacto mayor el contagio
El período en que una persona puede contagiar es de z días
El tiempo que una persona tarda en recuperarse es w días
Estos supuestos pueden variar: la recuperación puede ser más rápida de lo previsto, o puede la mortalidad no ser un % fijo (pensemos que pasa si se comienza a saturar el sitema de salud) al depender de otros factores.
Ahora vos
Bueno, en base a los datos que están diposnibles en la web, en ésta misma página (y cualquier otra que consultes) u otras fuentes, tenes que generar tres escenarios posibles para la fase de crecimiento exponencial del virus.
Vale aclarar una vez mas, que esta fase no puede continuar por siempre aún en el caso en que las autoridades no tomaran ninguna medida: simplemete no puede toda la población estar enferma al mismo tiempo (o te curas o te morís).
Lo que hay que producir es lo siguiente:
Una función que modele el crecimiento del virus en Argentina con un creicmiento diario pesimista (pero realista en relación a lo que se sabe de otros países)
Una función que modele el crecimiento del virus en Argentina con un crecimiento diario intermedio
Una función que modele el crecimiento del virus en Argentina con un crecimiento diario optimista
Las justificaciones de por qué consideran el escenario pesimista u optimista o moderado deben estar fundamentadas de alguna forma.
por ejemplo:
Una función que predice un escenario pesimista:
Tomando como día inicial el día 25 de marzo, sería
De continuar esta tasa de contagios, para fines de abril tendríamos mas de 2 millones de infectados, que representan el 19% de la población del area del gran buenos aires. Si reemplazamos $d=30$, es decir 30 días a partir del 25 de marzo
Este número supera ampliamente la cantidad de camas que existen en todo el sistema de salud (aproximadamente 200.000), dándose solo en un día, del día 29 al 30 casi 600.000 nuevos infectados.
Mas allá de lo poco realista de este escenario (acá se debería justificar por qué) represnta una situación de desborde, lo que implica que un "r" de 1,34 no es sostenible para evitar el colapso del sistema sanitario.
Links que vas a necesitar
Una buena explicación sobre fenómenos exponenciales y el inicio de la situación en nuestro país comparado con otros acá 1
Datos del banco mundial sobre camas por habitante acá 2
Artículo continuación de los de la semana pasada acá 3
Datos demográficos se pueden sacar de acá 4 o de la página de INDEC.
Otra información que te podría ser util
Para poder justificar los diferentes escenarios, quizás te sea bueno conocer
Fecha del primera caso conocido
Fecha de la primera muerte
Porcentaje de hospitalizados / infectados
Porcentaje de muertos / infectados
Infectados nuevos por día desde que comenzó en nuestro país
Mismos datos pero para otros países donde el desarrollo de la enfermedad está mas avanzado.
Te recomiendo que te hagas favoritos con los links que encuentres, los anotes en una planilla de cálculo online, en alguna libreta, papel higiénico, servilleta o en un tu mano.